Άσκηση 1. Δίνεται το πολυώνυμο:
\[
P_ν(x)=α_0+\dfrac{a_1}{1!}(x-α)+\dfrac{a_2}{2!}(x-α)^2+\dfrac{α_3}{3!}(x-α)^3+\cdots+\dfrac{α_ν}{ν!}(x-α)^ν
\]
το οποίο για λόγους ευκολίας στην ανάγνωση θα συμβολίσουμε με P(x)
Να βρείτε τους αριθμούς P(α), P΄(α), P΄΄(α), P΄΄΄(α),....,
P(ν)(α).
Σημείωση: \( ν! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots ν \)
Απάντηση: είναι \(Ρ(α)=α_0, Ρ'(α)=α_1, Ρ''(α)=α_2 .... Ρ^{(ν)}(α)=α_ν\)
Άσκηση 2. Δίνεται η ν φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x) και το πολυώνυμο: \[ P_ν(x)=f(α)+\dfrac{f΄(α)}{1!}(x-α)+\dfrac{f΄΄(α)}{2!}(x-α)^2+\dfrac{f^{(3)}(α)}{3!}(x-α)^3+\cdots+\dfrac{f^{ν}(α)}{ν!}(x-α)^ν \] Να δείξετε ότι \(P_ν(α)=f(α), \quad P΄(α)=f΄(α) \quad \ldots, \quad P^{(ν)}(α)=f^{(ν)}(α) \)
Τα παραπάνω πολυώνυμα λέγονται προσεγγιστικά πολυώνυμα της συνάρτησης f. Ποιο είναι το προσεγγιστικό πολυώνυμο πρώτου βαθμού;
Ας δούμε για την ίδια συνάρτηση f(x)=ημx το προσεγγιστικό πολυώνυμο δευτέρου βαθμού.
Ας δούμε για την ίδια συνάρτηση f(x)=ημx το προσεγγιστικό πολυώνυμο τρίτου βαθμού.
Η πρακτική αξία αυτών των πολυωνύμων είναι ότι μπορεί κανείς να βρεί προσεγγιστικά
την τιμή μιας οποιασδήποτε συνάρτησης "κοντά" στο α.
Επειδή \(f(x)=P_ν(x)+R_ν(x) \), όπου \(R_ν(x)\) είναι η διαφορά
μεταξύ της \(f(x)\) και του προσεγγιστικού πολυωνύμου και έτσι η τιμή της \(f\) στη θέση \(α+h\) "κοντά" στο α υπολογίζεται απο το ανάπτυγμα Taylor:
\[f(α+h)=f(α)+\dfrac{f΄(α)}{1!}h+\dfrac{f΄΄(α)}{2!}h^2+\cdots+\dfrac{f^{(ν)}(α)}{ν!}h^ν+r_ν(h)h^{ν+1} \]
Ο τελευταίος προσθετέος του αναπτύγματος ισούται με
\(\dfrac {f^{(ν+1)}(ξ)}{(ν+1)!}h^{ν+1} \)
και αυτό προκύπτει από το θεώρημα μέσης τιμής του Cauchy.
Αν λοιπόν τον αγνοήσουμε καθώς όσο μεγαλώνει ο βαθμός του προσεγγιστικού πολυωνύμου, αυτός έχει
μικρότερο "ρόλο", μπορούμε να έχουμε μια καλή προσέγγιση της συνάρτησης f.
Κάντε το παρακάτω "πείραμα" για να καταλάβετε την αξία του αναπτύγματος.
Θέλουμε να υπολογίσουμε τη \(\sqrt{101}=\sqrt{100+1} \)
Με ένα κομπιουτεράκι παίρνουμε το αποτέλεσμα για να μπορούμε να το συγκρίνουμε με τα δικά μας
αποτελέσματα.
Είναι λοιπόν: \(f(x)=\sqrt{x},α=100,h=1 \)
Για ν=1
\[f(100+1)=\sqrt{101} \simeq f(100)+\dfrac{f'(100)}{1!}\cdot 1 \]
μέχρι ποιο ψηφίο το αποτέλεσμα που βρίσκουμε ταιριάζει με αυτό της αριθμομηχανής;
Για ν=2
\[f(100+1)=\sqrt{101} \simeq f(100)+\dfrac{f'(100)}{1!}\cdot 1+\dfrac{f''(100)}{2!}\cdot1^2 \]
Τώρα; Πόσο κοντά είμαστε;
Ας δούμε και την προσέγγιση για ν=3
\[f(100+1)=\sqrt{101} \simeq f(100)+\dfrac{f'(100)}{1!}\cdot1+\dfrac{f''(100)}{2!}\cdot1^2+\dfrac{f'''(100)}{3!}\cdot1^3 \]
Βλέπετε πόσο γρήγορα προσεγγίσαμε ικανοποιητικά την τιμή; Δοκιμάστε και με μιά δική σας
συνάρτηση. Προσοχή! Οι τιμές της συνάρτησης και των παραγώγων της στο α να υπολογίζονται
"ακριβώς" και το h να είναι μικρό.