Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra
Το πολυώνυμο έχει εξίσωση:
$$
P(x)=f(x_0)+\dfrac{f΄(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dfrac{f΄΄(x_0)}{2!}(x-x_0)^2
$$
Αλλάξτε τη θέση του \(x_0\) και του \(x_0+h\).
Τι παρατηρείτε;
Το τμήμα μεταξύ του \(f(x_0+h)\) και \(P(x_0+h)\) λέγεται υπόλοιπο.
Τι συμβαίνει όταν \(h\to 0\) ;
Σε σχέση με τη συμπεριφορά του υπολοίπου στο πολυώνυμο 1ου βαθμού τι παρατηρείτε;
Ας δούμε και πάλι πιο προσεκτικά το υπόλοιπο \(R(x)=f(x)-P(x)\).
Επειδή \(P(x _0)= f(x_0)\) και \(P'(x_0)=f'(x_0)\)και \(P''(x_0)=f''(x_0)\)
είναι και \(R(x_0)=0\),
\(R'(x_0)=0, R''(x_0)=0\)
Θεωρούμε πολυώνυμο \(Q(x)=(x-x_0)^3\) και το λόγο
\[ \dfrac{R(x)}{Q(x)} = \dfrac{R(x)-R(x_0)}{Q(x)-Q(x_0)} = \dfrac{R'(x_1)}{Q'(x_1)} =
\dfrac{R'(x_1)-R'(x_0)}{Q'(x_1)-Q'(x_0)} = \dfrac{R''(x_2)}{R''(x_2)}=\dfrac{R''(x_2)-R''(x_0)}{Q''(x_2)-Q''(x_0)}
=\dfrac{R'''(x_3)}{Q'''(x_3)} = \dfrac{R'''(x_3)}{3!} \]
με \( x_0 < x_3 < x_2 < x_1 < x \)
(Εφαρμόσαμε τρεις φορές το θεώρημα Μέσης τιμής του Caushy).
Το υπόλοιπο τώρα εκτιμάται από τον όρο
\(R(x)=\dfrac{f'''(ξ)}{3!}(x-x_0)^3,\quad x_0 < ξ < x \quad αφού \quad P'''(x)=0 \)
Έτσι για τη συνάρτηση f έχουμε:
\[ f(x)=P(x)+R(x)=P(x)+\dfrac{(x-x_0)^3}{3!}f'''(ξ)
=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!} (x-x_0)^2 +\dfrac{f'''(ξ)}{3!}(x-x_0)^3, \quad x_0 < ξ < x \]
Επειδή πάλι δεν γνωρίζουμε τη θέση του ξ, έχουμε "εκτίμηση" για τον τελευταίο προσθετέο, που τώρα έχει ακόμα μικρότερη απόκλιση
από την πραγματική τιμή που αναζητούμε.(Γιατί;)