Η συνάρτηση $f(x)=\eta \mu x$ και το προσεγγιστικό πολυώνυμο 3ου βαθμού

Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra

Το πολυώνυμο έχει εξίσωση: $$P(x)=f(x_0)+{\displaystyle \frac{f΄(x_0)}{1!}}(x-x_0)+{\displaystyle \frac{f΄΄(x_0)}{2!}}(x-x_0{)}^2+{\displaystyle \frac{f^3(x_0)}{3!}}(x-x_0{)}^3$$ Αλλάξτε τη θέση του $x_0$ και του $x_0+h$ τι παρατηρείτε;
Το τμήμα μεταξύ του $f(x_0+h)$ και $P(x_0+h)$ λέγεται υπόλοιπο.
Τι συμβαίνει όταν $h\to 0$ ; Σε σχέση με τη συμπεριφορά του υπολοίπου στα πολυώνυμα 1ου και 2ου βαθμού τι παρατηρείτε;

Αν εργαστούμε όπως και πριν θα προκύψει ότι η διαφορά μεταξύ των τιμών της $f$ και του πολυωνυμου $P(x)$ δίνεται από τον όρο $R(x)={\displaystyle \frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}}(x-x_0{)}^4{x}_0<\xi <x$

Οπότε
$$P(x)=f(x_0)+{\displaystyle \frac{f΄(x_0)}{1!}}(x-x_0)+{\displaystyle \frac{f΄΄(x_0)}{2!}}(x-x_0{)}^2+{\displaystyle \frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}}(x-x_0{)}^3+{\displaystyle \frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}}(x-x_0{)}^4$$