Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra
Το πολυώνυμο έχει εξίσωση:
$$
P(x)=f(x_0)+\dfrac{f΄(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dfrac{f΄΄(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dfrac{f^3(x_0)}{3!}(x-x_0)^3
$$
Αλλάξτε τη θέση του \(x_0\) και του \(x_0+h\) τι παρατηρείτε;
Το τμήμα μεταξύ του \(f(x_0+h)\) και \(P(x_0+h)\) λέγεται υπόλοιπο.
Τι συμβαίνει όταν \(h\to 0\) ;
Σε σχέση με τη συμπεριφορά του υπολοίπου στα πολυώνυμα 1ου και 2ου βαθμού τι παρατηρείτε;
Αν εργαστούμε όπως και πριν θα προκύψει ότι η διαφορά μεταξύ των τιμών της \(f\) και του πολυωνυμου \(P(x)\) δίνεται από τον όρο $ R(x)=\dfrac {f^{(4)}(ξ)}{4!}(x-x_0)^4 \quad x_0< ξ < x $
Οπότε
$$
P(x)=f(x_0)+\dfrac{f΄(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dfrac{f΄΄(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\dfrac {f^{(4)}(ξ)}{4!}(x-x_0)^4
$$