Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra
Το πολυώνυμο έχει εξίσωση:
$P(x)=f(x_0)+\dfrac{f΄(x_0)}{1!}(x-x_0)$
Δηλαδή πρόκειται για τη εφαπτομένη της f στο \(x_0\).
Αλλάξτε τη θέση του \(x_0\) και του \(x_0+h\) τι παρατηρείτε;
Το τμήμα μεταξύ του \(f(x_0+h)\) και \(P(x_0+h)\) λέγεται υπόλοιπο.
Τι συμβαίνει όταν \(h\to 0\) ;
Ας δούμε τώρα πιο προσεκτικά το υπόλοιπο \(R(x)=f(x)-P(x)\).
Επειδή \(P(x_0)= f(x_0)\) και \(P'(x_0)=f'(x_0)\) είναι και \(R(x_0)=0\),
\(R'(x_0)=0\)
Θεωρούμε πολυώνυμο \(Q(x)=(x-x_0)^2\) και το λόγο
$$
\dfrac{R(x)}{Q(x)} = \dfrac{R(x)-R(x_0)}{Q(x)-Q(x_0)} = \dfrac{R'(x_1)}{Q'(x_1)} =
\dfrac{R'(x_1)-R'(x_0)}{Q'(x_1)-Q'(x_0)} = \dfrac{R''(x_2)}{Q''(x_2)} = \dfrac{R''(x_2)}{2!} $$
με \( x_0 < x_2 < x_1 < x \)
(Εφαρμόσαμε δύο φορές το θεώρημα Μέσης τιμής του Caushy).
Δηλαδή το υπόλοιπο "εκτιμάται" από τον όρο
\( R(x)=\dfrac{f''(ξ)}{2!},x_0 < ξ < x \quad αφού \quad P''(x)=0 \)
Έτσι για τη συνάρτηση f έχουμε:
$$ f(x)=P(x)+R(x)=P(x)+\dfrac{(x-x_0)^2}{2!}f''(ξ)
=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dfrac{(x-x_0)^2}{2!}f''(ξ), \text { } x_0 < ξ < x $$