Η έννοια του ορίου συνάρτησης καθώς το χ τείνει σε χ₀

Στην εφαρμογή που ακολουθεί θα εισαγάγουμε την ένοια του ορίου συνάρτησης καθώς η μεταβλητή x τείνει σε αριθμό x₀

Στη διπλανή εφαρμογή βλέπουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f\left(x\right)=\frac{x^3-1}{x-1}$
Η συνάρτηση αυτή δεν ορίζεται για χ=1 και αυτό στην εφαρμογή φαίνεται όταν μετακινήσετε το χ στη θέση αυτή.
Για όλες τις άλλες τιμές του χ όμως η συνάρτηση ορίζεται. Παρατηρείστε λοιπόν όταν το χ είναι "κοντά" στο 1 τι τιμές παίρνει η ανίστοιχη τιμή του y;

Τι σημαίνει όμως η λέξη "κοντά" στη μαθηματική ανάλυση;
Πατήστε το πλήκτρο

και το πλήκτρο

Στον άξονα y'y βλέπουμε δύο σημεία με τεταγμένες y₀+ε και y₀-ε αυτά είναι τα άκρα ενός διαστήματος με κέντρο το 3 το οποίο ονομάζεται περιοχή του 3 με ακτίνα ε.

Στη συνέχεια πατήστε

και το πλήκτρο

Τώρα έχουμε και ένα διάστημα (περιοχή) κέντρου x₀ και ακτίνας δ και στον άξονα y'y την εικόνα της περιοχής αυτής μέσω της f.

Μικρίνετε την ακτίνα (δ) της περιοχής αυτής ώστε η εικάνα της να γίνει υποσύνολο της περιοχής του 3.
Αν στενέψετε την περιοχή του 3 (μικρότερο ε) μπορείτε να ξανακάνετε το f((x₀-δ,x₀+δ)) υποσύνολό της;
Αν λοιπόν όσο και να στενέψουμε την περιοχή γύρω από το y₀, μπορούμε στενεύοντας την περιοχή του x₀ να κάνουμε το f((x₀-δ,x₀+δ)) υποσύνολο του (y₀-ε,y₀+ε) τότε λέμε ότι
$\underset{x\to x_0}{\text{lim}}f\left(x\right)=y_0$

Αλλάξτε τον τύπο της συνάρτησης γράφοντας f(x)=abs(x^3-1)/(x-1)
Η νέα συνάρτηση συμπεριφέρεται όπως η προηγούμενη;

Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra