Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης (με αναλυτική κατασκευή των αθροισμάτων)

Ορισμός διαμέρισης.

Ορίζουμε αριθμητική διαμέριση του διαστήματος [α,β] μια πεπερασμένη αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο το α και τελευταίο το β που χωρίζει το διάστημα [α,β] σε ν ίσα μέρη.
Οι όροι αυτής της ακολουθίας δίνονται από τον τύπο ${\chi }_{\kappa }=\alpha +\kappa \frac{\mathrm{\beta -\alpha }}{\nu }$

και το κ παίρνει τιμές από 0 έως ν

Βοήθεια

Ορισμός Κατώτερου αθροίσματος.

Έτσι ονομάζεται το άθροισμα
$\sum\limits_{κ=1}^{κ=ν} {m_i} \cdot (x_i-x_{i-1})$

όπου m_i είναι η ελάχιστη τιμή της f στο διάστημα [x_i-1,x_i], και αντιπροσωπεύει το άθροισμα των ορθογωνίων με μία πλευρά το κάθε διάστημα της διαμέρισης και ύψος το ελάχιστο της συνάρτησης στο συγκεκριμένο υποδιάστημα. Επειδή επελέγη συνάρτηση γνησίως αύξουσα, κάθε ορθογώνιο ακουμπά με την αριστερή του πλευρά στη συνάρτηση και το εμβαδόν του υπολείπεται του εμβαδού που αναζητάμε. Βοήθεια

Ορισμός Ανώτερου αθροίσματος.

Έτσι ονομάζεται το άθροισμα
$\sum\limits_{κ=1}^{κ=ν} {Μ_i} \cdot (x_i-x_{i-1})$

όπου M_i είναι η μέγιστη τιμή της f στο διάστημα [x_i-1,x_i],και αντιπροσωπεύει το άθροισμα των ορθογωνίων με μία πλευρά το κάθε διάστημα της διαμέρισης και ύψος το μέγιστο της συνάρτησης στο συγκεκριμένο υποδιάστημα. Επειδή επελέγη συνάρτηση γνησίως αύξουσα, κάθε ορθογώνιο ακουμπά με την δεξιά του πλευρά στη συνάρτηση και το εμβαδόν του υπερκαλύπτει το εμβαδό που αναζητάμε.
Βοήθεια

Ορισμός αθροίσματος Riemann.

Έτσι ονομάζεται το άθροισμα
$\sum\limits_{κ=1}^{κ=ν} {f(ξ_i)} \cdot (x_i-x_{i-1})$

όπου ξ _i τυχαίο σημείο του διαστήματος [x_i-1,x_i], και αντιπροσωπεύει το άθροισμα των ορθογωνίων με μία πλευρά το κάθε διάστημα της διαμέρισης και ύψος την τιμή της συνάρτησης σε ένα τυχαίο σημείο της συνάρτησης στο συγκεκριμένο υποδιάστημα. Επειδή επιλέγονται τα ενδιάμεσα σημεία με τυχαίο τρόπο, άλλα ορθογώνια ξεπερνούν το ζητούμενο εμβαδό και άλλα υπολείπονται του πραγματικού εμβαδού. Βοήθεια

Click on Reset to start over.

Κώστας Κυρίτσης,Created with GeoGebra

Δημιουργήθηκε με το πρόγραμμα GeoGebra

Η ιστοσελίδα αυτή παρουσιάζει πρόταση-σχέδιο μαθήματος, για την εισαγωγή των μαθητών στην έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος
Επειδή πιστεύω ότι έχει σημασία ο μαθητής να εκτελέσει τα βήματα κατασκευής, γιατί έτσι θα κατανοήσει-εμπεδώσει τις εισαγόμενες έννοιες, σε κάθε βήμα της παρουσίασης υπάρχει σύνδεσμος που εξηγεί το πως θα γίνει η κατασκευή στο geogebra.
Πάντως όπως έχει η κατασκευή οι μαθητές μπορούν να δώσουν τιμές στο ν (8,16,32,512,1024 κλπ.) και να παρατηρήσουν ότι ισχύει $s_ν \le R_ν \le S_ν$

Δίνοντας την πληροφορία ότι αυτό που διαισθητικά καταλαβαίνουμε αποδεικνύεται, αλλά δεν είναι η απόδειξη αντικείμενο μελέτης στο Λύκειο, δηλαδή ότι το s_ν και το S_ν έχουν το ίδιο όριο, από το Θ. Παρεμβολής προκύπτει ότι το ίδιο όριο έχει και το άθροισμα Riemann και έτσι ορίζουμε ως ορισμένο ολοκλήρωμα το
$\int_{α}^{β} f(x)dx = \lim\limits_{ν \to +\infty}R_ν$και το όριο αυτό είναι ανεξάρτητο της επιλογής των ξ_i, γεγονός που μας επιτρέπει να κάνουμε την παρακάτω ΑΠΟΔΕΙΞΗ του θεμελιώδους θεωρήματος ολοκληρωτικού λογισμού.

Κατασκευή της διαμέρισης

Για να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της διαμέρισης που δίνονται από τον τύπο: $x_k=α+κ \cdot \frac {β-α}{ν}$ γράψτε στο πεδίο εισαγωγής του geogebra
Ακολουθία[α + κ *(β - α) / ν, κ, 0, ν]
Τα σημεία στο σχήμα θα τα κατασκευάσετε γράφοντας:
χ=Ακολουθία[(Στοιχείολίστας[χ,κ],0),κ,1,ν+1]
Κορυφή

Κατασκευή του κάτω αθροίσματος

Επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα το ελάχιστό της σε κάθε υποδιάστημα είναι η τιμή της στο αριστερό άκρο του υποδιαστήματος οπότε για την κατασκευή λίστας ελαχίστων τιμών γράφουμε:
μ=Ακολουθία[f(ΣτοιχείοΛίστας[χ, κ]), κ, 1, ν] ή μ=Sequence[f(Element[χ, κ]), κ, 1, ν]
Για να κατασκευάσουμε τα ορθογώνια του κάτω αθροίσματος γράφουμε:
κο=Sequence[Polygon[(Element[χ, κ], 0), (Element[χ, κ], Element[μ, κ]), (Element[χ, κ + 1], Element[μ, κ]), (Element[χ, κ + 1], 0)], κ, 1, ν]
ή
κο=Ακολουθία[Πολύγωνο[(Στοιχείολίστας[χ, κ], 0), (Στοιχείολίστας[χ, κ], Στοιχείολίστας[μ, κ]), (Στοιχείολίστας[χ, κ + 1], Στοιχείολίστας[μ, κ]), (Στοιχείολίστας[χ, κ + 1], 0)], κ, 1, ν]
Για τον υπολογισμό του κατωτέρου αθροίσματος γράφουμε:
s=ΑθροισμαΣτοιχειωνΛίστας[κο]
Κορυφή

Κατασκευή του πάνω αθροίσματος

Επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα το μέγιστό της σε κάθε υποδιάστημα είναι η τιμή της στο δεξιό άκρο του υποδιαστήματος οπότε για την κατασκευή λίστας μεγίστων τιμών γράφουμε:
Μ=Ακολουθία[f(ΣτοιχείοΛίστας[χ, κ+1]), κ, 1, ν] ή μ=Sequence[f(Element[χ, κ+1]), κ, 1, ν]
Για να κατασκευάσουμε τα ορθογώνια του πάνω αθροίσματος γράφουμε:
αο=Sequence[Polygon[(Element[χ, κ], 0), (Element[χ, κ], Element[Μ, κ]), (Element[χ, κ + 1], Element[Μ, κ]), (Element[χ, κ + 1], 0)], κ, 1, ν]
ή
κο=Ακολουθία[Πολύγωνο[(Στοιχείολίστας[χ, κ], 0), (Στοιχείολίστας[χ, κ], Στοιχείολίστας[Μ, κ]), (Στοιχείολίστας[χ, κ + 1], Στοιχείολίστας[Μ, κ]), (Στοιχείολίστας[χ, κ + 1], 0)], κ, 1, ν]
Για τον υπολογισμό του ανωτέρου αθροίσματος γράφουμε:
S=ΑθροισμαΣτοιχειωνΛίστας[αο]
Κορυφή

Κατασκευή του αθροίσματος Riemann

Για την κατασκευή λίστας τυχαίων σημείων στο κάθε υποδιάστημα χρησιμοποιούμε τον τύπο $ξ_i=x_{i-1}+random() \cdot \frac{β-α}{ν}$
αφού η συνάρτηση random παράγει τυχαίο αριθμό στο διάστημα [0,1]
Για τη δημιουργία τους στο Geogebra γράφουμε:
ξ=Ακολουθία[ΣτοιχείοΛίστας[χ,κ]+random()*(β-α)/ν,κ,1,ν]
Για να δούμε τα σημεία αυτά πάνω στον άξονα γράφουμε:
Ξ=Ακολουθία[(ΣτοιχείοΛίστας[ξ,κ],0),κ,1,ν]

Για την ακολουθία των τιμών: ττ=Ακολουθία[f(ΣτοιχείοΛίστας[ξ,κ]),κ,1,ν]
Για την δημιουργία των ορθογωνίων:
το=Sequence[Polygon[(Element[χ, κ], 0), (Element[χ, κ], Element[ττ, κ]), (Element[χ, κ + 1], Element[ττ, κ]), (Element[χ, κ + 1], 0)], κ, 1, ν]
ή
το=Ακολουθία[Πολύγωνο[(ΣτοιχείοΛίστας[χ, κ], 0), (ΣτοιχείοΛίστας[χ, κ], ΣτοιχείοΛίστας[ττ, κ]), (ΣτοιχείοΛίστας[χ, κ + 1], ΣτοιχείοΛίστας[ττ, κ]), (ΣτοιχείοΛίστας[χ, κ + 1], 0)], κ, 1, ν] Για τον υπολογισμό του αθροίσματος γράφουμε:
R=ΑθροισμαΣτοιχειωνΛίστας[το]
Κορυφή


Για μια συνάρτηση που δεν είναι Γνησίως αύξουσα θα χρησιμοποιήσουμε τις έτοιμες ρουτίνες του geogebra στην παρακάτω Εφαρμογή