Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra
Στην εφαρμογή αυτή θα δούμε βήμα-βήμα το πως βρίσκουμε την κοινή εφαπτομένη δύο παραβολών.
Θα χρησιμοποιήσουμε τις παραβολές $ f(x)=x^2-x$ και $ f(x)=-x^2-1 $
Στο πεδίο εισαγωγής γράψτε: f(x)=x^2-x και πατήστε Enter
Στο πεδίο εισαγωγής γράψτε: g(x)=-x^2-1 και πατήστε Enter
Έχουμε λοιπόν στο σχέδιό μας τις δύο γραφικές παραστάσεις.
Θα αναζητήσουμε λοιπόν τις κοινές τους εφαπτομένες. Αν υποθέσουμε ότι $x_1$ είναι η τετμημένη
του σημείου επαφής στην συνάρτηση f και $x_2$ είναι η τετμημένη
του σημείου επαφής στην συνάρτηση g οι συντεταγμένες αυτές θα συνδέονται με τη σχέση $
f'(x_1)=g'(x_2)$
Λύστε λοιπόν την παραπάνω εξίσωση ως προς x2
Στο πεδίο εισαγωγής γράψτε x_2=.... (ότι βρήκατε από την παραπάνω λύση)
Στο πεδίο εισαγωγής γράψτε Εφαπτομένη[x_1,f]
Στο πεδίο εισαγωγής γράψτε Εφαπτομένη[x_2,g]
Αν δεν έχετε κάνει λάθος θα δείτε δύο εφαπτόμενες μία για κάθε συνάρτηση παράλληλες μεταξύ τους
Αν κινήσετε το δρομέα x1 μέσα στο σχέδιο θα δείτε τις εφαπτόμενες να αλλάζουν θέση,
πάντα διατηρώντας την ίδια διεύθυνση και σε κάποιες περιπτώσεις θα συμπίπτουν.
Αυτές τις περιπτώσεις θέλουμε να προσδιορίσουμε με ακρίβεια
Επειδή οι δύο παράλληλες ευθείες έχουν εξισώσεις:
$$ y=f'(x_1)x+f(x_1)-x_1f'(x_1)$$
$$ y=g'(x_2)x+g(x_2)-x_2g'(x_2)$$
Όταν αυτές συμπίπτουν πέραν της ισότητας των συντελεστών διεύθυνσης θα ισχύει και:
$$ f(x_1)-x_1f'(x_1)=g(x_2)-x_2g'(x_2)$$
Ολοκληρώστε λοιπόν τη λύση του συστήματος:
$$\cases {f'(x_1)=g'(x_2) \cr f(x_1)-x_1f'(x_1)=g(x_2)-x_2g'(x_2)}$$
και όταν βρείτε το x1
Γράψτε στο πεδίο εισαγωγής x_1= την τιμή που βρήκατε