Ο κανόνας τραπεζίου στον υπολογισμό ορισμένου ολοκληρώματος

Κανόνας τραπεζίου.

Δώστε την τιμή του ν κατ' ευθείαν στο πεδίο εισαγωγής ή σύροντας το δρομέα

Click on Reset to start over.

Κώστας Κυρίτσης,Created with GeoGebra

Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra

Η ιδέα στην οποία στηρίζεται η μέθοδος είναι να "εγγράψουμε" τραπέζια μεταξύ του άξονα χ΄χ και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Άρα το κάθε τραπέζιο "πατάει" στον άξονα χ΄χ στα σημεία χ_i-1 και χ_i και στην καμπύλη στα σημεία f(χ_i-1) και f(χ_i)
Οπότε το άθροισμα των τραπεζίων προκύπτει ως εξής:

$$ \sum_{k=1}^{ν} \frac{β-α}{ν} \frac{f(x_i)+f(x_{i-1})}{2} = \frac{β-α}{2ν} \sum_{k=1}^{ν} [f(x_{i-1})+f(x_i)]= \frac{β-α}{2ν} [f(α)+2f(x_1)+2f(x_2)+...+2f(x_{ν-1})+f(β)] $$ Και τελικά: $$ \int_α^β{ f(x)dx}=\frac {h}{2}(f(α)+2f(x_1)+2f(x_2)+...+2f(x_{ν-1})+f(β)) $$ όπου:

$$ h=\frac{β-α}{ν} $$ Σε σχέση με τη χρήση ανώτερου και κατώτερου αθροίσματος που μελετήσαμε στην προηγούμενη εφαρμογή, μπορούμε να δούμε οπτικοποιημένη τη μέθοδο υπολογισμού με τον κανόνα τραπεζίου. Δοκιμάστε τον ίδιο αριθμό όρων της διαμέρισης στις δύο εφαρμογές για να δείτε με τί ταχύτητα μπορούμε να προσεγγίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα με αυτή τη μέθοδο.