Ο κανόνας της αλυσίδας

Η μέθοδος που εξασφαλίζει παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης χωρίς λάθη

Στην παραγώγιση μιας σύνθετης συνάρτησης εφαρμόζουμε το γνωστό τύπο της σύνθετης παραγώγισης $$ \left( f\left(g(x) \right) \right)΄ =f΄\left( g(x) \right) \cdot g΄(χ) $$
Όταν όμως συντίθενται περισσότερες απο δύο συναρτήσεις τα πράγματα γίνονται "επικίνδυνα"
Θα το καταλάβουμε αυτό αν παραγωγίσουμε μια σύνθετη συνάρτηση η οποία μάλιστα να είναι σύνθεση πολλών συνάρτήσεων. Ας πάρουμε για παράδειγμα τη συνάρτηση $ f(x)=ημ^3 \sqrt{x^2+x+1} $ η οποία είναι σύνθεση τεσσάρων συνάρτήσεων.
Ας δούμε πώς αυτή παραγωγίζεται με διαδoχική εφαρμογή του $\left( f\left( g(x) \right) \right)΄ =f΄\left( g(x) \right) \cdot g΄(χ)$ $f^\prime (x)=3ημ^2 \sqrt{x^2+x+1} \left( ημ \sqrt{x^2+x+1} \right) ^\prime$ $=3ημ^2\sqrt{x^2+x+1} \cdot συν\sqrt{x^2+x+1} \cdot \left( \sqrt{x^2+x+1} \right)^\prime$ $\displaystyle = 3ημ^2\sqrt{x^2+x+1} \cdot συν\sqrt{x^2+x+1}\cdot \frac {1}{2\sqrt{x^2+x+1}} \cdot \left( x^2+x+1 \right)^\prime$ $\displaystyle =3ημ^2\sqrt{x^2+x+1} \cdot συν\sqrt{x^2+x+1}\cdot \frac {1}{2\sqrt{x^2+x+1}} \cdot \left( 2x+1 \right)$

Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα τον κανόνα της αλυσίδας για να παραγωγίσουμε την ίδια συνάρτηση.
Πρώτα κατασκευάζουμε τη συνάρτηση με διαδοχική χρήση βοηθητικών μεταβλητών:
$u=x^2+x+1$ Δηλαδή την πρώτη συνάρτηση που επιδρά πάνω στο χ και συμμετέχει στη σύνθεση την ονoμάζουμε u. Η βοηθητική μεταβλητή u λοιπόν είναι απλή συνάρτηση του χ και παραγωγίζεται εύκολα: Η παράγωγός της είναι $u^\prime_x=2x+1 \quad ή \quad \frac {du}{dx}=2x+1$ Στη συνέχεια κατασκευάζουμε και τις υπόλοιπες μεταβλητές. $u=x^2+x+1$ $t=\sqrt{u}$ $φ=ημt$ $y=φ^3$ Με παραγώγους $y^\prime_φ=3φ^2,\quad φ^\prime_t=συνt,\quad t^\prime_u=\frac{1}{2\sqrt{u}},\quad u^\prime_x=2x+1$

Εφαρμόζουμε τον κανόνα της αλυσίδας, δηλ. $\displaystyle \frac {dy}{dx}=\frac{dy}{dφ}\cdot\frac{dφ}{dt}\cdot\frac{dt}{du}\cdot\frac{du}{dx} \quad ή \quad διαφορετικά \quad y^\prime_x=y^\prime_φ \cdot φ^\prime_t \cdot t^\prime_u \cdot u^\prime_x$ Έτσι: $y^\prime_x=3φ^2συνt \frac{1}{2\sqrt{u}}(2x+1)$ Ουσιαστικά η παραγώγιση τελειώνει εδώ.
Μένει να αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές φ, t,u ώστε να πάρουμε τον τελικό τύπο που εκφράζει τη μεταβλητή y συναρτήσει της μεταβλητής x. $\displaystyle y^\prime_x=3ημ^2\sqrt{x^2+x+1} \cdot συν\sqrt{x^2+x+1}\cdot \frac {1}{2\sqrt{x^2+x+1}} \cdot \left( 2x+1 \right)$ Σας φαίνεται πολύπλοκο;
Δοκιμάστε το δυο τρεις φορές να το συνηθίσετε και θα δείτε ότι είναι παιχνιδάκι.
Κανείς βέβαια δεν σας υποχρεώνει να ακολουθήσετε τη μέθοδο αυτή
άλλωστε μην ξεχνάτε ότι στα Μαθηματικά επιτρέπονται τα πάντα, εκτός από ένα πράγμα:
ΤΟ ΝΑ ΚΑΝΕΤΕ ΛΑΘΟΣ

Σημείωση:Πιθανόν η σελίδα να παρουσιάζει λάθη στον Internet explorer.
Προτιμήστε Mozilla Firefox.