Θα διαπραγματευτούμε ένα πρόβλημα μιγαδικών με γεωμετρικό τρόπο
Αφορμή
Το πρόβλημα:
Αν \(z=1+2ti , t \in \mathbb R\) να δείξετε ότι ο μιγαδικός \(\displaystyle w=\frac1z\) κινείται πάνω σε κύκλο για τις
διάφορες τιμές του t.
Η αλγεβρική απόδειξη δεν παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες,
αλλά γενιέται η ερώτηση: Υπάρχει γεωμετρική ερμηνεία;
Αυτό το θέμα θα δούμε παρακάτω
Πρώτα θα αναφέρουμε έναν ορισμό και κατόπιν τη γεωμετρική κατασκευή του αντίστροφου μιγαδικού,
θέματα που δεν καλύπτονται από τα σχολικά βιβλία.
Ορισμός
Αν (Ο,R) κύκλος και Α σημείο, ονομάζουμε αντίστροφο σημείο του Α ως προς τον κύκλο Ο,
το σημείο Α' για το οποίο ισχύει: \(\vec{OA}\cdot \vec{OA'}=R^2\)
Εννοείται ότι το αντίστροφο του Α'είναι το Α.
Η θέση και η κατασκευή του σημείου Α' όταν το Α είναι εκτός κύκλου, φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. (γνώσεις Β Λυκείου)
Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra
Παρατηρείστε τώρα τη διαδρομή του Α'όταν το Α κινείται σε ευθεία εκτός του κύκλου
Πρόταση
Όταν το σημείο Α διαγράφει ευθεία το Α' διαγράφει κύκλο.
Μετακινείστε το σημείο Α πάνω στην ευθεία και ενεργοποιείστε το ίχνος του Α'.
Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra
Απόδειξη
Από τα όμοια τρίγωνα ΟΑΡ και ΟΑ'Σ προκύπτει ότι \(\displaystyle \frac {ΟΣ}{ΟΑ'}=\frac {ΟΑ}{ΟΡ}\) άρα \(\displaystyle ΟΣ=\frac{R^2}d\), όπου d η απόσταση του Ο
από της ευθεία ε.
Το σημείο Α' λοιπόν βλέπει το σταθερό τμήμα ΟΣ υπό ορθή γωνία. Άρα κινείται σε κύκλο διαμέτρου ΟΣ
Επιστροφή στο πρόβλημα με τους μιγαδικούς
Ο \(z=1+2ti\) κινείται σε ευθεία. Ο \( \displaystyle \frac 1z=\frac{1}{(1+2ti)}=\frac{1-2ti}{|z|^2}\) έχει εικόνα το συμμετρικό ως προς τον άξονα x'x
του αντιστρόφου σημείου του z ως προς το μοναδιαίο κύκλο.
Άρα είναι κύκλος ως συμμετρικός κύκλου. Και μάλιστα αν ο κύκλος έχει διάμετρο στον άξονα x'x οι κύκλοι συμπίπτουν