Ξέρουμε(;) ότι αριθμητικός μέσος \(Μ_α\) δύο θετικών αριθμών είναι ο μέσος όρος τους
(το ημιάθροισμά τους). Δηλ
\(M_α=\dfrac {α+β}{2}\)
Γεωμετρικός μέσος ή μέσος ανάλογος ο \(Μ_g\):
\(M_g=\sqrt {α\cdot β}\)
Και αρμονικός μέσος ο \(Μ_h\):
\(M_h=\dfrac {2αβ}{α+β}\)
Κατά την ανισότητα Cauchy είναι:
\[M_h \leq M_g \leq M_α\]
κάτι που είναι πολύ εύκολο να αποδειχθεί με άλγεβρα από τους μαθητές της Α Λυκείου (ή και μικρότερους).
Χωρίς μια γεωμετρική ερμηνεία όμως τη θυμόμαστε;
Δείτε προσεκτικά το σχήμα και συνεχίζουμε.
Ανισότητα Cauchy
Έχουμε κατασκευάσει το τμήμα ΟΑ=α και το τμήμα ΟΒ=β, διαδοχικά πάνω σε μια ευθεία.
Κατασκευάζουμε τον κύκλο διαμέτρου ΑΒ
Φέρουμε κάθετη στο Ο,
που συναντά τον κύκλο στο Μ.
Ο αριθμητικός μέσος των α και β δηλαδή το ημιάθροισμά τους είναι το μήκος της ακτίνας του κύκλου Δηλαδή \(Μ_α=\dfrac{α+β}{2}=ΚΜ\).
Επίσης Θεωρούμε το και το
ΟΚΜ
Ο γεωμετρικός μέσος των α και β είναι το μήκος ΜΟ γιατί στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΜΑ (βλέπει διάμετρο) ισχύει:
\(ΟΜ^2=ΟΒ \cdot ΟΑ \text { άρα } ΟΜ= \sqrt{OA \cdot OB}=\sqrt{αβ}\)
Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΜ η είναι προβολή της ΜΟ στην υποτείνουσα οπότε:
\(ΜΗ \cdot MK = OM^2 \Leftrightarrow ΜΗ \cdot \frac {a+b}{2}=α \cdot β \Leftrightarrow
MH=\frac {2αβ}{α+β}\)
Άρα το μήκος της ΜΗ αντιπροσωπεύει τον αρμονικό μέσο των α και Β και επειδή
\(
ΜΗ \leq ΜΟ \leq ΜΚ \text{ ισχύει: } Μ_h \leq Μ_g \leq Μ_α \)
Αλλάξτε τιμές στα α και β
Πότε ισχύει η ισότητα;