Παραμετρική εξίσωση κεντρικής δέσμης ευθειών

Δίνεται η εξίσωση:

$(λ+1)x +(λ-1)y+4λ-2=0,\qquad λ \in \mathbb R\qquad (1)$
Δείξτε ότι παριστάνει ευθεία για κάθε πραγματική τιμή του λ.

Στο σχέδιο που ακολουθεί αλλάξτε τιμές στο λ για να δείτε πώς μεταβάλλεται η ευθεία.
Παρατηρείτε κάτι;
Πατήστε με δεξί κλικ στην ευθεία και ενεργοποιήστε το ίχνος της. Κατόπιν αλλάξτε και πάλι τιμές στο λ.
Τι παρατηρείτε;

Κατα την περιστροφή φαίνεται ότι οι ευθείες αυτές αφήνουν σημεία ακάλυπτα. Πιστεύετε ότι έτσι είναι ή ότι αυτό οφείλεται σε ατέλεια του λογισμικού αφού το λ παίρνει διακεκριμένες τιμές;
Αποδείξτε την εικασία σας.

Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra

Ας χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία των παραμετρικών εξισώσεων πρώτου βαθμού για να λύσουμε το πρόβλημα.
Η εξίσωση (1) γράφεται:

$(x+y+4)λ+(x-y-2)=0 \qquad (2)$
Αν υπάρχει σημείο Α(x,y) από το οποίο διέρχονται περισσότερες της μιας ευθείες της παραπάνω οικογένειας, αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση (2) θα έχε άπειρες λύσεις άρα θα είναι της μορφής: 0χ+0=0, και έτσι οι συντεταγμένες του Α, οι x, y θα αποτελούν λύση του συστήματος:
$ \cases {x+y+4=0 \cr x-y-2=0} $
Άρα πρόκειται για την τομή των δύο ευθειών του συστήματος.

Αν υπάρχουν σημεία του επιπέδου Β(x,y) από τα οποία δεν διέρχεται η ευθεία (1) για καμιά τιμή του λ, αυτά θα δημιουργούν αδύνατη εξίσωση δηλαδή εξίσωση της μορφής $ 0x+β=0,β \neq 0 $, οπότε αποτελούν λύση του συστήματος:

$ \cases {x+y+4=0 \cr x-y-2 \neq 0} $
Είναι δηλαδή τα σημεία της πρώτης ευθείας, εκτός του κοινού σημείου των δύο ευθειών.