α → ⋅ β → = β → ⋅ προβ β → α →
Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra
Ο τύπος που ισχύει λοιπόν για πλευρά απέναντι από οξεία γωνία είναι:
α 2 = β 2 + γ 2 - 2 β ⋅ γ ´ β και με κυκλική αλλαγή των γραμμάτων όλες οι περιπτώσεις είναι: α 2 = β 2 + γ 2 - 2 γ ⋅ β ´ γ β 2 = α 2 + γ 2 - 2 α ⋅ γ ´ α β 2 = α 2 + γ 2 - 2 γ ⋅ α ´ γ γ 2 = β 2 + α 2 - 2 β ⋅ α ´ β γ 2 = β 2 + α 2 - 2 α ⋅ β ´ α παρατηρήστε τι υπάρχει στο πρώτο και δεύτερο μέλος. Δεν είναι καθόλου δύσκολο να τους απομνημονεύσετε! Στην περίπτωση πλευράς απέναντι από αμβλεία γωνία δείτε το παρακάτω σχήμα: Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Ας δούμε τώρα την απόδειξη του ίδιου θεωρήματος με εργαλεία της διανυσματικής γεωμετρίας: Αν η γωνία Α είναι οξεία τα διανύσματα ΑΓ → και ΑΔ → είναι ομόρροπα γι αυτό και το εσωτερικό τους γινόμενο έχει αντικατασταθεί με το γινόμενο των ευθυγράμμων τμημάτων. Αν όμως η γωνία Α είναι αμβλεία τα ΑΓ → και ΑΔ → είναι αντίρροπα ισχύει: ΑΓ → ⋅ ΑΔ → = - AΓ ⋅ ΑΔ και ο τύπος που προκύπτει είναι ο α2=β2+γ2+2βγ΄β Θεωρήματα διαμέσων Η γεωμετρική απόδειξη των θεωρημάτων διαμέσων: Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Στην παραπάνω απόδειξη θεωρήσαμε β>γ. Aν μετακινήσετε κορυφές στο σχήμα και κάνετε τη β μικρότερη οι τύποι δεν αναπροσαρμόζονται γιατί σε τούτη τη μελέτη, δεν είναι αυτό το θέμα μας. Και η διανυσματική απόδειξη: Εδώ να σημειώσουμε ότι για ευκολία μας συμβολίσαμε τα διανύσματα με το ίδιο γράμμα που συμβολίζουμε και τις πλευρές ή τα δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου. Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Δηλαδή η απόδειξη του κάθε θεωρήματος δεν είναι παρά η εφαρμογή μιας αλγεβρικής ταυτότητας. Αυτό δείχνει ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για την επεξεργασία μετρικών σχέσεων και όπως όλα τα ισχυρά εργαλεία που διαθέτει σήμερα ο άνθρωπος (όχι μόνο στα Μαθηματικά), για να το χρησιμοποιήσει κανείς πρέπει να μάθει να το χρησιμοποιεί. Απαιτείται λοιπόν να εξoικειωθεί με τη διανυσματική γλώσσα, όσο δύσκολο κι αν του φαίνεται αυτό στην αρχή. Τα applets δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με GeoGebra
και με κυκλική αλλαγή των γραμμάτων όλες οι περιπτώσεις είναι:
α 2 = β 2 + γ 2 - 2 γ ⋅ β ´ γ β 2 = α 2 + γ 2 - 2 α ⋅ γ ´ α β 2 = α 2 + γ 2 - 2 γ ⋅ α ´ γ γ 2 = β 2 + α 2 - 2 β ⋅ α ´ β γ 2 = β 2 + α 2 - 2 α ⋅ β ´ α παρατηρήστε τι υπάρχει στο πρώτο και δεύτερο μέλος. Δεν είναι καθόλου δύσκολο να τους απομνημονεύσετε! Στην περίπτωση πλευράς απέναντι από αμβλεία γωνία δείτε το παρακάτω σχήμα: Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Ας δούμε τώρα την απόδειξη του ίδιου θεωρήματος με εργαλεία της διανυσματικής γεωμετρίας: Αν η γωνία Α είναι οξεία τα διανύσματα ΑΓ → και ΑΔ → είναι ομόρροπα γι αυτό και το εσωτερικό τους γινόμενο έχει αντικατασταθεί με το γινόμενο των ευθυγράμμων τμημάτων. Αν όμως η γωνία Α είναι αμβλεία τα ΑΓ → και ΑΔ → είναι αντίρροπα ισχύει: ΑΓ → ⋅ ΑΔ → = - AΓ ⋅ ΑΔ και ο τύπος που προκύπτει είναι ο α2=β2+γ2+2βγ΄β Θεωρήματα διαμέσων Η γεωμετρική απόδειξη των θεωρημάτων διαμέσων: Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Στην παραπάνω απόδειξη θεωρήσαμε β>γ. Aν μετακινήσετε κορυφές στο σχήμα και κάνετε τη β μικρότερη οι τύποι δεν αναπροσαρμόζονται γιατί σε τούτη τη μελέτη, δεν είναι αυτό το θέμα μας. Και η διανυσματική απόδειξη: Εδώ να σημειώσουμε ότι για ευκολία μας συμβολίσαμε τα διανύσματα με το ίδιο γράμμα που συμβολίζουμε και τις πλευρές ή τα δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου. Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Δηλαδή η απόδειξη του κάθε θεωρήματος δεν είναι παρά η εφαρμογή μιας αλγεβρικής ταυτότητας. Αυτό δείχνει ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για την επεξεργασία μετρικών σχέσεων και όπως όλα τα ισχυρά εργαλεία που διαθέτει σήμερα ο άνθρωπος (όχι μόνο στα Μαθηματικά), για να το χρησιμοποιήσει κανείς πρέπει να μάθει να το χρησιμοποιεί. Απαιτείται λοιπόν να εξoικειωθεί με τη διανυσματική γλώσσα, όσο δύσκολο κι αν του φαίνεται αυτό στην αρχή. Τα applets δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με GeoGebra
β 2 = α 2 + γ 2 - 2 α ⋅ γ ´ α β 2 = α 2 + γ 2 - 2 γ ⋅ α ´ γ γ 2 = β 2 + α 2 - 2 β ⋅ α ´ β γ 2 = β 2 + α 2 - 2 α ⋅ β ´ α παρατηρήστε τι υπάρχει στο πρώτο και δεύτερο μέλος. Δεν είναι καθόλου δύσκολο να τους απομνημονεύσετε! Στην περίπτωση πλευράς απέναντι από αμβλεία γωνία δείτε το παρακάτω σχήμα: Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Ας δούμε τώρα την απόδειξη του ίδιου θεωρήματος με εργαλεία της διανυσματικής γεωμετρίας: Αν η γωνία Α είναι οξεία τα διανύσματα ΑΓ → και ΑΔ → είναι ομόρροπα γι αυτό και το εσωτερικό τους γινόμενο έχει αντικατασταθεί με το γινόμενο των ευθυγράμμων τμημάτων. Αν όμως η γωνία Α είναι αμβλεία τα ΑΓ → και ΑΔ → είναι αντίρροπα ισχύει: ΑΓ → ⋅ ΑΔ → = - AΓ ⋅ ΑΔ και ο τύπος που προκύπτει είναι ο α2=β2+γ2+2βγ΄β Θεωρήματα διαμέσων Η γεωμετρική απόδειξη των θεωρημάτων διαμέσων: Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Στην παραπάνω απόδειξη θεωρήσαμε β>γ. Aν μετακινήσετε κορυφές στο σχήμα και κάνετε τη β μικρότερη οι τύποι δεν αναπροσαρμόζονται γιατί σε τούτη τη μελέτη, δεν είναι αυτό το θέμα μας. Και η διανυσματική απόδειξη: Εδώ να σημειώσουμε ότι για ευκολία μας συμβολίσαμε τα διανύσματα με το ίδιο γράμμα που συμβολίζουμε και τις πλευρές ή τα δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου. Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Δηλαδή η απόδειξη του κάθε θεωρήματος δεν είναι παρά η εφαρμογή μιας αλγεβρικής ταυτότητας. Αυτό δείχνει ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για την επεξεργασία μετρικών σχέσεων και όπως όλα τα ισχυρά εργαλεία που διαθέτει σήμερα ο άνθρωπος (όχι μόνο στα Μαθηματικά), για να το χρησιμοποιήσει κανείς πρέπει να μάθει να το χρησιμοποιεί. Απαιτείται λοιπόν να εξoικειωθεί με τη διανυσματική γλώσσα, όσο δύσκολο κι αν του φαίνεται αυτό στην αρχή. Τα applets δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με GeoGebra
β 2 = α 2 + γ 2 - 2 γ ⋅ α ´ γ γ 2 = β 2 + α 2 - 2 β ⋅ α ´ β γ 2 = β 2 + α 2 - 2 α ⋅ β ´ α παρατηρήστε τι υπάρχει στο πρώτο και δεύτερο μέλος. Δεν είναι καθόλου δύσκολο να τους απομνημονεύσετε! Στην περίπτωση πλευράς απέναντι από αμβλεία γωνία δείτε το παρακάτω σχήμα: Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Ας δούμε τώρα την απόδειξη του ίδιου θεωρήματος με εργαλεία της διανυσματικής γεωμετρίας: Αν η γωνία Α είναι οξεία τα διανύσματα ΑΓ → και ΑΔ → είναι ομόρροπα γι αυτό και το εσωτερικό τους γινόμενο έχει αντικατασταθεί με το γινόμενο των ευθυγράμμων τμημάτων. Αν όμως η γωνία Α είναι αμβλεία τα ΑΓ → και ΑΔ → είναι αντίρροπα ισχύει: ΑΓ → ⋅ ΑΔ → = - AΓ ⋅ ΑΔ και ο τύπος που προκύπτει είναι ο α2=β2+γ2+2βγ΄β Θεωρήματα διαμέσων Η γεωμετρική απόδειξη των θεωρημάτων διαμέσων: Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Στην παραπάνω απόδειξη θεωρήσαμε β>γ. Aν μετακινήσετε κορυφές στο σχήμα και κάνετε τη β μικρότερη οι τύποι δεν αναπροσαρμόζονται γιατί σε τούτη τη μελέτη, δεν είναι αυτό το θέμα μας. Και η διανυσματική απόδειξη: Εδώ να σημειώσουμε ότι για ευκολία μας συμβολίσαμε τα διανύσματα με το ίδιο γράμμα που συμβολίζουμε και τις πλευρές ή τα δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου. Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Δηλαδή η απόδειξη του κάθε θεωρήματος δεν είναι παρά η εφαρμογή μιας αλγεβρικής ταυτότητας. Αυτό δείχνει ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για την επεξεργασία μετρικών σχέσεων και όπως όλα τα ισχυρά εργαλεία που διαθέτει σήμερα ο άνθρωπος (όχι μόνο στα Μαθηματικά), για να το χρησιμοποιήσει κανείς πρέπει να μάθει να το χρησιμοποιεί. Απαιτείται λοιπόν να εξoικειωθεί με τη διανυσματική γλώσσα, όσο δύσκολο κι αν του φαίνεται αυτό στην αρχή. Τα applets δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με GeoGebra
γ 2 = β 2 + α 2 - 2 β ⋅ α ´ β γ 2 = β 2 + α 2 - 2 α ⋅ β ´ α παρατηρήστε τι υπάρχει στο πρώτο και δεύτερο μέλος. Δεν είναι καθόλου δύσκολο να τους απομνημονεύσετε! Στην περίπτωση πλευράς απέναντι από αμβλεία γωνία δείτε το παρακάτω σχήμα: Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Ας δούμε τώρα την απόδειξη του ίδιου θεωρήματος με εργαλεία της διανυσματικής γεωμετρίας: Αν η γωνία Α είναι οξεία τα διανύσματα ΑΓ → και ΑΔ → είναι ομόρροπα γι αυτό και το εσωτερικό τους γινόμενο έχει αντικατασταθεί με το γινόμενο των ευθυγράμμων τμημάτων. Αν όμως η γωνία Α είναι αμβλεία τα ΑΓ → και ΑΔ → είναι αντίρροπα ισχύει: ΑΓ → ⋅ ΑΔ → = - AΓ ⋅ ΑΔ και ο τύπος που προκύπτει είναι ο α2=β2+γ2+2βγ΄β Θεωρήματα διαμέσων Η γεωμετρική απόδειξη των θεωρημάτων διαμέσων: Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Στην παραπάνω απόδειξη θεωρήσαμε β>γ. Aν μετακινήσετε κορυφές στο σχήμα και κάνετε τη β μικρότερη οι τύποι δεν αναπροσαρμόζονται γιατί σε τούτη τη μελέτη, δεν είναι αυτό το θέμα μας. Και η διανυσματική απόδειξη: Εδώ να σημειώσουμε ότι για ευκολία μας συμβολίσαμε τα διανύσματα με το ίδιο γράμμα που συμβολίζουμε και τις πλευρές ή τα δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου. Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Δηλαδή η απόδειξη του κάθε θεωρήματος δεν είναι παρά η εφαρμογή μιας αλγεβρικής ταυτότητας. Αυτό δείχνει ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για την επεξεργασία μετρικών σχέσεων και όπως όλα τα ισχυρά εργαλεία που διαθέτει σήμερα ο άνθρωπος (όχι μόνο στα Μαθηματικά), για να το χρησιμοποιήσει κανείς πρέπει να μάθει να το χρησιμοποιεί. Απαιτείται λοιπόν να εξoικειωθεί με τη διανυσματική γλώσσα, όσο δύσκολο κι αν του φαίνεται αυτό στην αρχή. Τα applets δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με GeoGebra
γ 2 = β 2 + α 2 - 2 α ⋅ β ´ α παρατηρήστε τι υπάρχει στο πρώτο και δεύτερο μέλος. Δεν είναι καθόλου δύσκολο να τους απομνημονεύσετε! Στην περίπτωση πλευράς απέναντι από αμβλεία γωνία δείτε το παρακάτω σχήμα: Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Ας δούμε τώρα την απόδειξη του ίδιου θεωρήματος με εργαλεία της διανυσματικής γεωμετρίας: Αν η γωνία Α είναι οξεία τα διανύσματα ΑΓ → και ΑΔ → είναι ομόρροπα γι αυτό και το εσωτερικό τους γινόμενο έχει αντικατασταθεί με το γινόμενο των ευθυγράμμων τμημάτων. Αν όμως η γωνία Α είναι αμβλεία τα ΑΓ → και ΑΔ → είναι αντίρροπα ισχύει: ΑΓ → ⋅ ΑΔ → = - AΓ ⋅ ΑΔ και ο τύπος που προκύπτει είναι ο α2=β2+γ2+2βγ΄β Θεωρήματα διαμέσων Η γεωμετρική απόδειξη των θεωρημάτων διαμέσων: Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Στην παραπάνω απόδειξη θεωρήσαμε β>γ. Aν μετακινήσετε κορυφές στο σχήμα και κάνετε τη β μικρότερη οι τύποι δεν αναπροσαρμόζονται γιατί σε τούτη τη μελέτη, δεν είναι αυτό το θέμα μας. Και η διανυσματική απόδειξη: Εδώ να σημειώσουμε ότι για ευκολία μας συμβολίσαμε τα διανύσματα με το ίδιο γράμμα που συμβολίζουμε και τις πλευρές ή τα δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου. Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra Δηλαδή η απόδειξη του κάθε θεωρήματος δεν είναι παρά η εφαρμογή μιας αλγεβρικής ταυτότητας. Αυτό δείχνει ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για την επεξεργασία μετρικών σχέσεων και όπως όλα τα ισχυρά εργαλεία που διαθέτει σήμερα ο άνθρωπος (όχι μόνο στα Μαθηματικά), για να το χρησιμοποιήσει κανείς πρέπει να μάθει να το χρησιμοποιεί. Απαιτείται λοιπόν να εξoικειωθεί με τη διανυσματική γλώσσα, όσο δύσκολο κι αν του φαίνεται αυτό στην αρχή. Τα applets δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με GeoGebra
Στην περίπτωση πλευράς απέναντι από αμβλεία γωνία δείτε το παρακάτω σχήμα:
Ας δούμε τώρα την απόδειξη του ίδιου θεωρήματος με εργαλεία της διανυσματικής γεωμετρίας:
Αν η γωνία Α είναι οξεία τα διανύσματα ΑΓ → και ΑΔ → είναι ομόρροπα γι αυτό και το εσωτερικό τους γινόμενο έχει αντικατασταθεί με το γινόμενο των ευθυγράμμων τμημάτων. Αν όμως η γωνία Α είναι αμβλεία τα ΑΓ → και ΑΔ → είναι αντίρροπα ισχύει: ΑΓ → ⋅ ΑΔ → = - AΓ ⋅ ΑΔ και ο τύπος που προκύπτει είναι ο α2=β2+γ2+2βγ΄β
Στην παραπάνω απόδειξη θεωρήσαμε β>γ. Aν μετακινήσετε κορυφές στο σχήμα και κάνετε τη β μικρότερη οι τύποι δεν αναπροσαρμόζονται γιατί σε τούτη τη μελέτη, δεν είναι αυτό το θέμα μας.
Και η διανυσματική απόδειξη: Εδώ να σημειώσουμε ότι για ευκολία μας συμβολίσαμε τα διανύσματα με το ίδιο γράμμα που συμβολίζουμε και τις πλευρές ή τα δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου.
Δηλαδή η απόδειξη του κάθε θεωρήματος δεν είναι παρά η εφαρμογή μιας αλγεβρικής ταυτότητας. Αυτό δείχνει ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για την επεξεργασία μετρικών σχέσεων και όπως όλα τα ισχυρά εργαλεία που διαθέτει σήμερα ο άνθρωπος (όχι μόνο στα Μαθηματικά), για να το χρησιμοποιήσει κανείς πρέπει να μάθει να το χρησιμοποιεί. Απαιτείται λοιπόν να εξoικειωθεί με τη διανυσματική γλώσσα, όσο δύσκολο κι αν του φαίνεται αυτό στην αρχή.
Τα applets δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με GeoGebra