Από τη Γεωμετρική πρόοδο στην Εκθετική συνάρτηση! Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια ποσότητα 6 γραμμαρίων ραδιενεργού υλικού το οποίο κάθε χρόνο χάνει τη μισή μάζα του λόγω της διάσπασης που υφίσταται. Μπορούμε να πάρουμε μια εικόνα της ποσότητας στο τέλος κάθε έτους και για τα επόμενα 6 χρόνια αν στο πλαίσιο εισαγωγής του πιο κάτω παραθύρου γράχουμε: Ακολουθία[(ν,6*0.5^ν),ν,0,6] και πατήσουμε Enter Τα σημεία που θα δείτε να εμφανίζονται είναι η γραφική παράσταση της ακολουθίας με τύπο: \(α_ν=α_0 \cdot 0.5^ν\). Η οποία βεβαίως είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο 0.5 Εδώ ας κάνουμε την παρατήρηση ότι ο γενικός όρος της προόδου δίνεται από τον τύπο \(α_ν=α_0 \cdot λ^ν \) αλλά και γενικότερα ισχύει $$α_ν=α_κ \cdot λ^{ν-κ}$$ Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra

Επειδή το ραδιενεργό υλικό δεν διασπάται κάθε έτος "ακαριαία" δηλαδή ξαφνικά στο τέλος του έτους, αλλά η διάσπαση είναι ένα συνεχές και ομαλό φαινόμενο όπου σε ίσους χρόνους το υλικό υφίσταται σταθερό ποσοστό μεταβολής, ας αναζητήσουμε την ποσότητα του υλικού στο τέλος των εξαμήνων.
Οι τιμές της καινούριας ακολουθίας θα προκύψουν κάνοντας "γεωμετρική παρεμβολή" με έναν ενδιάμεσο στην προηγούμενη πρόοδο οπότε ο λόγος της νέας προόδου θα είναι \( λ΄= \sqrt{\frac{α_ν}{α_{ν-1}}}=\sqrt {\frac{1}{2}} \), οπότε η ποσότητα στο τέλος των εξαμήνων δίνεται από τον τύπο \(α_ν=α_0 \cdot \left( \sqrt{\frac{1}{2}}\right)^ν \), όπου το ν αντιπροσωπεύει εξάμηνα.
Αν τώρα στο πεδίο εισαγωγής δώσουμε: Ακολουθία[(ν,6* sqrt(0.5)^ν),ν,0,12] θα δούμε σημεία μιας νέας ακολουθίας που είναι γεωμετρική πρόοδος αλλά δεν έχει σχέση με την προηγούμενη αφού οι τιμές στον άξονα χ΄χ στη μια περίπτωση αντιπροσωπεύουν έτη και στην άλλη εξάμηνα! Για να δωθεί πιο σωστή εκδοχή του θέματος θα γράψουμε: Ακολουθία[(ν,6*0.5^ν),ν,0,6,1/2]
Εδώ παρατηρούμε ότι έχουν εμφανιστεί σημεία ανάμεσα στα σημεία της προηγούμενης γεωμετρικής προόδου. Οι τεταγμένες των νέων σημείων βγαίνουν ως εξής: $$ α_ν=α_0 \cdot \left( \sqrt{\frac{1}{2}}\right)^ν = α_0 \cdot \left( \frac{1}{2}\right)^\frac{ν}{2}= α_0 \cdot \left( \frac{1}{2}\right)^x, x\in \left \lbrace 0,\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2},... \right \rbrace $$ Βέβαια τώρα ενώ οι τιμές που παίρνουμε αποτελούν όρους γεωμετρικής προόδου, οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής έχουν πάψει να είναι ακέραιες, αλλά επειδή πρόκειται για διακεκριμένες τιμές ας δεχτούμε, πέρα από τον ορισμό ότι συνεχίζουμε να έχουμε μια γεωμετρική πρόοδο.
Αν στη συνέχεια αναζητήσουμε την ποσότητα στο τέλος κάθε τριμήνου, θα κάνουμε, με τον ίδιο τρόπο, παρεμβολή τριών ενδιαμέσων στην αρχική πρόοδο με λόγο \( λ΄΄= \root 4 \of {\frac{α_ν}{α_{ν-1}}}=\root 4 \of {\frac{1}{2}} \) και οι τιμές δίνονται από τον τύπο: $$ α_ν=α_0 \cdot \left( \root 4 \of {\frac{1}{2}}\right)^ν = α_0 \cdot \left( \frac{1}{2}\right)^\frac{ν}{4}= α_0 \cdot \left( \frac{1}{2}\right)^x, x\in \Bigg\{\; 0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4} ,1, \frac{4}{4},...\Bigg\}\; $$ Στο πεδίο εισαγωγής γράψτε:Ακολουθία[(ν,6*0.5^ν),ν,0,6,1/4]
, αν μάλιστα θέλετε να δείτε και την κατάσταση της ποσότητας του υλικού σε χρόνους προγενέστερους από τη δική μας παρατήρηση γράψτε: Ακολουθία[(ν,6*0.5^ν),ν,-2,6,1/4]
Έχουμε λοιπόν και πάλι όρους μιας γεωμετρικής προόδου, αλλά ενώ για την ποσότητα στο τέλους του έτους μπορούμε να γράψουμε α₁, για την ποσότητα στο τέλος του πρώτου τριμήνου δεν μπορούμε να γράψουμε \(α_{\frac{1}{4}}\), θα καταφύγουμε στον ορισμό \(f(x)=\left( \frac {1}{2} \right)^x \) και θα μιλούμε για εκθετική συνάρτηση με βάση το \(\frac{1}{2}\)

Και επειδή ο χρόνος είναι συνεχής μεταβλητή, παύουμε να μιλούμε για γεωμετρική πρόοδο!

Δοκιμάστε να παρεμβάλετε γεωμετρικούς ενδιαμέσους στην ακολουθία του σχήματος ώστε να αποδίδουν τη μεταβολή της ποσότητας κάθε μέρα δηλαδή 364 ενδιαμέσους. Μπορείτε να ξεχωρίσετε τους όρους;
Φαναστείτε αυτό να γίνει για κάθε δευτερόλεπτο και για κάθε ενδιάμεση χρονική στιγμή. Έχετε έτσι μια ιδέα για τη συνάρτηση \(f(x)=α^x, x \in R \)

Βέβαια η έννοια της δύναμης \(α^x, x \in R \) έχει να κάνει με έννοια ορίου η οποία θα γίνει περισσότερο κατανοητή στην Τρίτη τάξη

Το κύριο χαρακτηριστικό βέβαια της γεωμετρικής προόδου, δηλαδή ότι οι διαδοχικοί όροι έχουν σταθερό πηλίκο, αναδιατυπώνεται για να μπορούμε να το μεταφέρουμε και στην εκθετική συνάρτηση, αφού δεν υπάρχουν διαδοχικές χρονικές στιγμές!
Δηλαδή όπως στη γεωμετρική πρόοδο ο λόγος δύο όρων με σταθερή διαφορά δεικτών είναι σταθερός, έτσι και στην εκθετική συνάρτηση ο λόγος τιμών με σταθερή διαφορά των προτύπων (της ανεξάρτητης μεταβλητής) είναι σταθερός. Συγκεκριμένα!
Στη γεωμετρική πρόοδο: $$ \frac{α_{ν+κ}}{α_ν}=λ^κ=c $$ Στην εκθετική συνάρτηση με βάση α: $$\frac{f(x+h)}{f(x)}=α^h=c $$ Δηλαδή στην εκθετική συνάρτηση σε ίσες χρονικές περιόδους έχουμε ίσο ποσοστό μεταβολής των τιμών της συνάρτησης.