Θεώρημα Ceva

Θεώρημα:
Σε ένα επίπεδο τριγώνου θεωρούμε σημείο Σ. Οι ευθείες ΑΣ, ΒΣ, ΓΣ τέμνουν τις πλευρές ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα στα σημεία Α₁, Β₁, Γ₁. Ισχύει:
$$ \frac {A_1B}{A_1Γ} \cdot \frac {B_1Γ}{Β_1Α} \cdot \frac {Γ_1Α}{Γ_1Β} =1 $$

Συντρέχουσες ευθείες

Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra

κινείστε το σημείο Σ και θα δείτε τους λόγους να αλλάζουν, αλλά το γινόμενό τους παραμένει ίσο με 1.

Για την απόδειξη του θεωρήματος εμφανείστε δύο βοηθητικές ευθείες από το αντίστοιχο checkbox και θα ισχύει:
$$ \frac {A_1Β}{Α_1Γ} = \frac {ΣΒ}{ΣΕ}, \frac {Β_1Γ}{Β_1Α}=\frac {ΓΕ}{ΑΣ}, \frac{Γ_1Α}{Γ_1Β}=\frac {ΑΣ}{ΒΔ}$$
Έτσι είναι:
$$\frac {A_1B}{A_1Γ} \cdot \frac {B_1Γ}{Β_1Α} \cdot \frac {Γ_1Α}{Γ_1Β} = \frac {ΣΒ}{ΣΕ} \cdot \frac {ΓΕ}{ΑΣ} \cdot \frac {ΑΣ}{ΒΔ} = \frac{ΣΒ}{ΣΕ} \cdot \frac {ΓΕ}{ΒΔ}=\frac {ΒΔ}{ΕΓ} \cdot \frac {ΓΕ}{ΒΔ}=1 $$