Η συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx

Στη μελέτη του προβλήματος που ακολουθεί θα "παντρέψουμε" θέματα της φετεινής και της περσινής ύλης για να δούμε, πώς όλα όσα μαθαίνουμε είναι αλληλένδετα, άρα ο κόπος που κάνουμε για να τα μάθουμε δεν πάει χαμένος.
Το θέμα μας είναι να μελετήσουμε και να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx

Ας δούμε πρώτα ποιά είναι η μέγιστη τιμή που παίρνει η παράσταση.
Εδώ θα χρειαστούμε την ταυτότητα του Lagrange και την προερχόμενη απ' αυτή ανισότητα Cauchy-Swartz.(Α Λυκείου)

Η ταυτότητα Lagrange

Για την τετράδα αριθμών $ \matrix{α&β \\ x&y}$ισχύει: $(α^2+β^2)(x^2+y^2)=(αx+βy)^2+\left|\matrix{α&β\\ x&y}\right|^2 $
και από αυτή προκύπτει η

Ανισότητα Cauchy-Swartz

$ (αx+βy)^2\leq (α^2+β^2)(x^2+y^2)$ , ενώ το ίσον ισχύει όταν $ \left|\matrix{α&β\\ x&y}\right|=0$

Επιστρέφοντας λοιπόν στη συνάρτηση f(x) και από τη σχέση $ (αημx+βσυνy)^2\leq (α^2+β^2)(ημ^2x+συν^2y)=α^2+β^2$
παίρνουμε: $ \left|αημx+βσυνy\right| \leq \sqrt{α^2+β^2} $ οπότε $ -\sqrt{α^2+β^2} \leq f(x) \leq \sqrt{α^2+β^2} $

Αν στον τύπο της συνάρτησης f(x)=αημχ+βσυνχ βγάλουμε κοινό παράγοντα τη μέγιστη αυτή τιμή παίρνουμε διαδοχικά:
$ f(x)=\sqrt{α^2+β^2}\cdot \left( \frac{α}{\sqrt{α^2+β^2}}ημx+\frac{β}{\sqrt{α^2+β^2}}συνx \right) $ $ =\sqrt{α^2+β^2}\cdot \left( ημxσυνθ+ημθσυνx \right)=\sqrt{α^2+β^2}\cdot ημ(χ+θ) $. (Δηλαδή θέσαμε $ \frac {α}{\sqrt{α^2+β^2}}=συνθ, \frac{β}{\sqrt{α^2+β^2}}=ημθ) $.
Αποδείξαμε λοιπόν ότι η συνάρτηση f(x)=αημχ+βσυνχ είναι ημιτονοειδής με μέγιστη τιμή $ \sqrt{α^2+β^2}$

Στο σχέδιό μας τώρα.

Η πράσινη καμπύλη είναι η συνάρτηση y=αημχ και η μπλε η y=βσυνχ.
Έχουμε επίσης τα σημεία Α(x,0), B(x,αημx), C(x,βσυνx). Μετακινήστε το Α για να το παρατηρήσετε.
Τώρα τσεκάρετε το κουτί "Σημείο Μ" και θα δείτε ένα σημείο με συντεταγμένες Μ(x,αημx+βσυνx) (Για τη θετική και τεχνολογική κατεύθυνση να πούμε ότι $\overrightarrow {AM}=\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC}$), δηλαδή το Μ είναι το σημείο που διαγράφει την καμπύλη της f που μπορείτε να την εμφανίσετε τσεκάροντας το κουτί "Το άθροισμα των συναρτήσεων"

Το δημιούργησε ο Κώστας Κυρίτσης με το πρόγραμμα GeoGebra

Τα επόμενα θα τα καταλάβουν καλύτερα οι μαθητές της Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης
Τσεκάρετε το κουτί "Σημεία Κ, Λ". Θα εμφανιστούν τα σημεία Λ(ημx,συνx) και Κ(α,β). Παρατηρήστε ότι όταν το Μ βρίσκεται στο υψηλότερο σημείο της f(x) τότε τα διανύσματα $ \overrightarrow {OK} \text{ και } \overrightarrow {ΟΛ} $ είναι ομόρροπα, ενώ όταν το Μ βρίσκεται στο χαμηλότερο σημείο τα διανύσματα είναι αντίρροπα.
Η εξήγηση:
Η διανυσματική διατύπωση της ανισότητας $ -\sqrt{α^2+β^2} \leq f(x) \leq \sqrt{α^2+β^2} $ είναι η $ -\left| \overrightarrow {OK}\right|\left|\overrightarrow {OΛ}\right| \leq \overrightarrow {OK} \cdot \overrightarrow {OΛ} \leq \left|\overrightarrow {OM}\right|\left|\overrightarrow {OΛ}\right| $ .
Η σχέση ισχύει με το ίσον δεξιά όταν τα $ \overrightarrow {OΛ}, \overrightarrow {OK} $ είναι ομόρροπα και με το ίσον αριστερά όταν είναι αντίρροπα.
Τέλος ας μιλήσουμε για τη μετατόπιση της ημιτονοειδούς καμπύλης από την αρχή των αξόνων.
Αν ονομάσουμε θ το σημείο στο οποίο η συνάρτησή μας τέμνει τον άξονα χ΄χ, σ' εκείνη τη θέση (μετακινήστε το Α για να το δείτε) είναι

$ \overrightarrow {ΑΒ}+\overrightarrow {OC}=\vec 0 $ δηλαδή αημθ+βσυνθ=0.
Απά αυτή προκύπτει ότι $ εφθ=\frac {-β}{α}$ και από την τριγωνομετρική ταυτότητα $συν^2θ=\frac{1}{1+εφ^2θ}$ ξαναβγαίνει ότι $συν^2θ=\frac{α^2}{α^2+β^2}$