Α και Β είναι δυο τυχαία σημεία. Ζητάμε σημεία Μ (και Ν στο σχήμα) τα οποία να απέχουν από τα Α και Β αποστάσεις με δεδομένο λόγο. Δηλαδή: $\frac {ΜΑ}{ΜΒ}=λ$
Πως θα το πετύχουμε;
Στις πλευρές γωνίας ΣΟΕ με $λ=εφω$ σχηματίζουμε ορθογώνιο τρίγωνο ΕΓΔ οπότε καθώς μετακινούμε το Δ ο λόγος $\frac {ΣΕ}{ΣΟ}$ δηλαδή παραμένει σταθερός.
Με κέντρο το Α και ακτίνα ίση με ΣΟ (τα δύο πράσινα τμήματα) γράφουμε κύκλο, όπως και με κέντρο το Β και ακτίνα ΣΕ (τα δύο κόκκινα).
Όταν οι κύκλοι τέμνονται στα σημεία Μ και Ν οι αποστάσεις του κάθε σημείου τομής από τα άκρα του τμήματος έχουν λόγο ίσο με το λόγο των ακτίνων δηλαδή με λ καθώς ισχύει: $\frac {ΜΑ}{ΜΒ}=\frac{EA}{ΔΓ}=λ$
Σύρετε το σημείο Δ ώστε να πάρετε πολλά σημεία Μ, Ν. Τί γραμμή διαγράφουν;
Αλλάξτε τη γωνία κινώντας το δρομέα λ και επαναλάβετε. Τι συμβαίνει;

Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν απο δύο σταθερά σημεία αποστάσεις με σταθερό λόγο, είναι κύκλος.
Τι συμβαίνει στην ειδική περίπτωση που λ=1;