Ευθεία Euler

Το ορθόκεντρο Η, το βαρύκεντρο G και το περίκεντρο Ο ενός τριγώνου, είναι σημεία συνευθειακά και ισχύει: $HG=2GO$

Ακολουθείστε τα βήματα για την απόδειξη

Δημιουργήθηκε με το πρόγραμμα GeoGebra

Κατασκευάζουμε σημείο Ο (πατήστε στο πλαίσιο "κατασκευή του Ο")που είναι το συμμετρικό του μέσου Θ του ΗG ως προς το G.
Αν I το μέσο του ΑG, (πατήστε στo πλαίσιo τμήματα) τα τρίγωνα ΘΙG και GOM είναι ίσα.
(ΑI=IG=GM, ΘG=GO και γωνία κατά κορυφήν).
Άρα και ΟΜ//ΘΙ//ΑΗ (γιατί;) Άρα ΟΜ κάθετη στη ΒΓ δηλαδή μεσοκάθετη. Με όμοιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι το Ο ανήκει και στη μεσοκάθετη της ΑΓ. Δηλαδή είναι το περίκεντρο